miércoles, 13 de noviembre de 2013

arquimedes.

Para otros usos de este término, véase Arquímedes (desambiguación).

Arquímedes de Siracusa
Arquímedes pensativo. Óleo sobre tela del pintorDomenico Fetti (1620). Gemäldegalerie Alte Meister, Dresde.
Nacimiento	287 a. C. Siracusa, Sicilia (Magna Grecia)
Fallecimiento	ca. 212 a. C. (75 años) Siracusa
Residencia	Siracusa
Campo	Matemáticas, física, ingeniería,astronomía, invención
Conocido por	Principio de Arquímedes,Tornillo de Arquímedes,hidrostática, palanca, El método de los teoremas mecánicos

Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo Ἀρχιμήδης) (Siracusa (Sicilia), ca. 287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, inventor,astrónomo y matemático griego. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de laantigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de lapalanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.¹

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.² ³ Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi.⁴ También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandríalo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento,⁵mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos.⁶

presion.

La presión (símbolo p)¹ ² es una magnitud física que mide como la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad de superficie(esa magnitud es escalar), y sirve para caracterizar cómo se aplica una determinada fuerza resultante sobre una línea. En el Sistema Internacional la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado. En el Sistema Inglés la presión se mide en libra por pulgada cuadrada (pound per square inch o psi) que es equivalente a una fuerza total de una libra actuando en una pulgada cuadrada.

Definición[editar · editar código]

La presión es la magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa, es decir,equivale a la fuerza que actúa sobre la superficie.

Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P viene dada de la siguiente forma:

$p = \frac{F}{A}$

En un caso general donde la fuerza puede tener cualquier dirección y no estar distribuida uniformemente en cada punto la presión se define como:

$p = \frac{d\bold{F}_A}{dA}\cdot \bold{n}$

Donde $\scriptstyle \bold{n}$ es un vector unitario y normal a la superficie en el punto donde se pretende medir la presión. La definición anterior puede escribirse también como:

$p = \frac{d}{dA}\int_S \mathbf{f}\cdot\mathbf{n}\ dS$

donde:

$\mathbf{f}$ , es la fuerza por unidad de superficie.

$\mathbf{n}$ , es el vector normal a la superficie.

$A\,$ , es el área total de la superficie S.

densidad.

Para otros usos de este término, véase Densidad (desambiguación).

En física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.

$\rho = \frac{m}{V}\,$

Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de un punto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes $\Delta V_k$ (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo $\Delta m_k$ la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes:

$\rho(x) = \lim_{k \to \infty} \frac{\Delta m_k}{\Delta V_k} \approx \frac{dm}{dV}$

La unidad es kg/m³ en el SI.

Como ejemplo, un objeto de plomo es más denso que otro de corcho, con independencia del tamaño y masa.

hidrodinamica.

La hidrodinámica estudia la dinámica de los líquidos.

Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.
Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento.
Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo.

La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc.

Daniel Bernoulli fue uno de los primeros matemáticos que realizó estudios de hidrodinámica.

Características y leyes generales[editar · editar código]

La hidrodinámica o fluidos en movimientos presenta varias características que pueden ser descritas por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas:

Ley de Torricelli: si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido y se le abre al recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será:

$v=\sqrt{2 g H}$

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de Reynolds (adimensional):

$Re=\frac{\rho c D}{\mu}$

donde $\rho$ es la densidad, $c$ la velocidad, $D$ es el diámetro del cilindro y $\mu$ es la viscosidad dinámica.

Concretamente, este número indica si el fluido es laminar o turbulento, o si está en la zona de transición. $Re<2300$ indica laminar, $Re>4000$ turbulencia.

Caudal[editar · editar código]

Artículo principal: Caudal (fluido)

El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido $\Delta{V}$ que fluye por unidad de tiempo $\Delta{t}$ . Sus unidades en elSistema Internacional son los m³/s y su expresión matemática:

$G=\frac{\Delta{V}}{\Delta{t}}$

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.

Principio de Bernoulli[editar · editar código]

Artículo principal: Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:

$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

donde $P$ es la presión hidrostática, $\rho$ la densidad, $g$ la aceleración de la gravedad, $h$ la altura del punto y $v$ la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.

La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico:

$G = A_1 v_1 = A_2 v_2$

donde $A$ es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y $v$ su velocidad media.

hidroestatica.

La hidrostática: La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos o de la hidráulica, que estudia los fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el principio de Pascal y el principio de Arquímedes..

La presión (P) se relaciona con la fuerza (F) y el área o superficie (A) de la siguiente forma: P=F/A.

La ecuación básica de la hidrostática es la siguiente:

P = P_o + ρgy

Siendo:

P: presión

P_o: presión superficial

ρ: densidad del fluido

g: intensidad gravitatoria de la Tierra

y: altura neta

Características de los líquidos[editar · editar código]

a) Viscosidad. Es una medida de la resistencia que opone un líquido a fluir.
b) Tensión superficial. Este fenómeno se presenta debido a la atracción entre moléculas de un líquido.
c) Cohesión. Es la fuerza que mantiene unidas a las moléculas de una misma sustancia.
d) Adherencia. Es la fuerza de atracción que se manifiesta entre las moléculas de dos sustancias diferentes en contacto.
e) Capilaridad. Se presenta cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida, especialmente si son tubos muy delgados llamados capilares.

Principio de Pascal[editar · editar código]

Artículo principal: Principio de Pascal

Rotura de un tonel bajo la presiónde una columna de agua.

El principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623–1662) que se resume en la frase: «el incremento de la presión aplicada a una superficie de un fluido incompresible (generalmente se trata de un líquido incompresible), contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo».

Es decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente cerrado, esta se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo, en la prensa hidráulica o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se basan en este principio. La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido.

Principio de Arquímedes[editar · editar código]

Artículo principal: Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes establece que cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado en dirección ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del líquido desplazado por el cuerpo sólido. El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.

FLUIDOS O MECANICA DE FLUIDOS.

La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos, rama de la física a su vez, que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que los provoca.¹ La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la hipótesis del medio continuo

Hipótesis básicas.[editar · editar código]

Como en todas las ramas de la ciencia, en la mecánica de fluidos se parte de hipótesis en función de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En particular, en la mecánica de fluidos se asume que los fluidos verifican las siguientes leyes:

conservación de la masa y de la cantidad de movimiento.
primera y segunda ley de la termodinámica.
Concepto de partícula fluida[editar · editar código]

Este concepto está muy ligado al del medio continuo y es sumamente importante en la mecánica de fluidos. Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. Así pues un determinado punto del espacio en distintos instantes de tiempo estará ocupado por distintas partículas fluidas.

Ecuación de continuidad:

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} \rho (\mathbf{v\cdot n})\ d(\partial\Omega)$

-Forma diferencial: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0$

Ecuación de cantidad de movimiento:

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\mathbf{v} \; d\Omega +\int_{\partial\Omega} \rho\mathbf{v}(\mathbf{v\cdot n})\ d\partial\Omega= \int_{\partial\Omega} \boldsymbol\tau \mathbf{\cdot n}\ d\partial\Omega+ \int_{\Omega} \rho\mathbf{f} d\Omega$

-Forma diferencial: $\frac{\part}{\part t}\left(\rho \mathbf{v} \right) + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}+\nabla \cdot \boldsymbol\tau.$

Ecuación de la energía

-Forma integral: $\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\; d\Omega+\int_{\partial\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega=\int_{\partial\Omega} \mathbf{n}\cdot\tau\cdot\mathbf{v} \; d\partial\Omega+\int_{\Omega} \rho\mathbf{f\cdot v} \;d\Omega-\int_{\partial\Omega} \mathbf {q \cdot n} \; d\partial\Omega$

-Forma diferencial: $\rho\frac {D}{Dt}\left(e+\frac {1}{2}v^2 \right )=-\nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right)+\nabla\cdot\left(\tau'\cdot\mathbf{v}\right)+ \rho\mathbf{f\cdot v}+\nabla\cdot\left(k\nabla T\right)$

lunes, 9 de septiembre de 2013

tringulos

Triángulo

Para otros usos de este término, véase Triángulo (desambiguación).

El triángulo es un polígono de tres lados.

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres segmentos que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Convención de escritura[editar · editar fuente]

Triángulo: ABC. Lados: a, b, c. Ángulos: $\widehat{\alpha}, \widehat{\beta}, \widehat{\gamma} \,$ .

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas:A, B, C,...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: $a$ para BC, $b$ para AC, $c$ para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el extremo O es $\widehat{POQ} .\,$

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

$\widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} ,\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,$