miércoles, 13 de noviembre de 2013

teorema de torricelli

El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

$V_t = \sqrt{{2\cdot g\cdot\left ( h + \frac {v_0^2} {2\cdot g} \right ) }}$

Donde:

$\ V_t$ es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio
$\ v_0$ es la velocidad de aproximación o inicial.
$\ h$ es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
$\ g$ es la aceleración de la gravedad

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

$V_r = C_v \sqrt{{2\cdot g\cdot h }}$

Donde:

$\ V_r$ es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio
$\ C_v$ es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.

tomando $\ C_v$ =1

$V_r = \sqrt{{2\cdot g\cdot h }}$

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

TEOREMA DE BERNOULLI

El Teorema de Bernoulli es un caso particular de la Ley de los grandes números, que precisa la aproximación frecuencial de un suceso a la probabilidad p de que este ocurra a medida que se va repitiendo el experimento.

Dados un suceso A, su probabilidad p de ocurrencia, y n pruebas independientes para determinar la ocurrencia o no-ocurrencia de A.
Sea f el número de veces que se presenta A en los n ensayos y $\varepsilon$ un número positivo cualquiera, la probabilidad de que la frecuencia relativa f/n discrepe de p en más de $\varepsilon$ (en valor absoluto) tiende a cero al tender n a infinito. Es decir:

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\rho\left(\left|\frac{f}{n}-p\right|>\varepsilon \right)} = 0$

caudal (fluido)

En dinámica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que pasa en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.

El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula:

$Q=A\,\bar{v}$

donde

$Q$ Caudal ([L³T⁻¹]; m³/s)
$A$ Es el área ([L²]; m²)
$\bar{v}$ Es la velocidad lineal promedio. ([LT⁻¹]; m/s)

Dada una sección de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v, si esta velocidad forma con la perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como

$\phi = A \cdot v \cdot \cos \theta.$

En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y $\cos \theta = 1$ ) entonces el flujo vale

$\phi = A \cdot v.$

Si la velocidad del fluido no es uniforme o si el área no es plana, el flujo debe calcularse por medio de una integral:

$\phi = \iint_{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{S}$

donde dS es el vector superficie, que se define como

$d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dA,$

donde n es el vector unitario normal a la superficie y dA un elemento diferencial de área.

Si se tiene una superficie S que encierra un volumen V, el teorema de la divergencia establece que el flujo a través de la superficie es la integral de la divergencia de la velocidad v en ese volumen:

$\iint_S\mathbf{v}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)dV.$

En física e ingeniería, caudal es la cantidad de fluido que circula por unidad de tiempo en determinado sistema o elemento. Se expresa en la unidad de volumen dividida por la unidad de tiempo (e.g.: m³/s).

En el caso de cuencas de ríos o arroyos, los caudales generalmente se expresan en metros cúbicos por segundo o miles de metros cúbicos por segundo. Son variables en tiempo y en el espacio y esta evolución se puede representar con los denominados hidrogramas.

presion en solidos y fluidos

Presión

Contenido del artículo

Presión estática

Presión dinámica

Presiones absoluta y relativa

Figura 1

La presión es el concepto físico utilizado para caracterizar la influencia de una fuerza perfectamente distribuida sobre una superficie, por lo que su valor se da en unidades de fuerza por unidad de área, esto es kg/cm² o libras/pulgada² etc.

Hay que diferenciar entre dos tipos de presiones que son:

Presión propiamente dicha, que se refiere a la acción de los fluidos (gases y líquidos) sobre las paredes del recipiente que los contienen.
Fuerzas distribuidas aplicadas a sólidos, que más apropiadamente debe llamarse tensión.

Para estas páginas la palabra presión se refiere a la presión en fluidos.

La presión ejercida por los fluidos puede ser de dos tipos:

Presión estática, producida por los fluidos en reposo sobre las paredes del recipiente.
Presión dinámica, producida sobre una superficie perpendicular a la dirección del movimiento de un fluido.

Presión estática

La figura 1 muestra un esquema de un recipiente lleno con líquido hasta una altura h. Esta columna líquida ejercerá una presión (p) sobre el fondo y las paredes de recipiente que lo contiene de valor:

p = ρ x h

Donde ρ es la densidad del líquido y h la altura de la columna.

Si consideramos ahora una sección del fondo de área A, la fuerza f resultante de la presión sobre esta área sería:

f = p x A

donde A es el área de la sección y p la presión a que está sometida.

Una típica presión estática, es la presión atmosférica, producida en todas direcciones sobre los cuerpos colocados en la superficie de la tierra debido a la gran columna de aire sobre ellos. El resultado de esta acción en todas direcciones de la presión atmosférica no produce fuerza neta de empuje del cuerpo hacia algún lado, solo tiende a comprimirlo.

Presión dinámica

Cuando los fluidos se mueven en un conducto, la inercia del movimiento produce un incremento adicional de la presión estática al chocar sobre un área perpendicular al movimiento, así por ejemplo, cuando usted tiene una sombrilla abierta interceptando el viento, tendrá que sostener la fuerza de empuje producida por el choque del aire con la sombrilla. Esta fuerza se produce por la acción de la presión conocida como dinámica. La presión dinámica depende de la velocidad y la densidad del fluido.

Presiones absoluta y relativa

Hay que considerar dos estados diferentes de la presión para la figura 1, para el caso del recipiente abierto al exterior, sobre la superficie del líquido actúa la presión atmosférica, mientras que si el recipiente es hermético y existe vacío sobre el líquido, esta presión ambiental no actúa, de manera que sobre las paredes del recipiente pueden ejercerse dos presiones que difieren en el valor de la presión atmosférica. La primera se conoce como presión relativa o manométrica y la segunda como presión absoluta. Es decir:

p_re = p_ab + p_at

Donde p_re es la presión relativa, p_ab la presión absoluta, y p_at la presión atmosférica.

Como la presión atmosférica varía con la altitud y otros factores climatológicos el uso de la presión absoluta evita imprecisiones en la medición, que pueden ser significativas para las bajas presiones.

flotacion.

La flotación es un proceso fisicoquímico de tres fases (sólido-líquido-gaseoso) que tiene por objetivo la separación de especies minerales mediante la adhesión selectiva de partículas minerales a burbujas de aire. En química, es una mezcla homogénea a nivel molecular o iónico de dos o más especies químicas que no reaccionan entre sí, cuyos componentes se encuentran en proporción que varía entre ciertos límites. Toda disolución está formada por un soluto y un medio dispersante denominado disolvente o solvente. El disolvente es la sustancia que está presente en el mismo estado de agregación que la disolución misma; si ambos (soluto y disolvente) se encuentran en el mismo estado, el disolvente es la sustancia que existe en mayor cantidad que el soluto en la disolución; en caso que haya igual cantidad de ambos (como un 50% de etanol y 50% de agua), la sustancia que es más frecuentemente utilizada como disolvente es la que se designa como tal (en este caso, el agua). Una disolución puede estar formada por uno o más solutos y uno o más disolventes. Una disolución será una mezcla en la misma proporción en cualquier cantidad que tomemos (por pequeña que sea la gota), y no se podrán separar por centrifugación ni filtración. Un buen ejemplo podría ser un sólido disuelto en un líquido, como la sal o el azúcar disuelto en agua (o incluso el oro en mercurio, formando una amalgama). Esto nos lleva al importante concepto llamado flotación, que se trata con el principio fundamental de Arquímedes.

empuje

El empuje es una fuerza de reacción descrita cuantitativamente por la tercera ley de Newton. Cuando un sistema expele o acelera masa en una dirección (acción), la masa acelerada causará una fuerza igual en dirección contraria (reacción). Matemáticamente esto significa que la fuerza total experimentada por un sistema se acelera con una masa m que es igual y opuesto a m veces la aceleración a, experimentada por la masa:

$\sum^{}_{} \vec F = m \vec a$

Ejemplos[editar · editar código]

Fuerzas sobre un perfil alar.

Un avión genera empuje hacia adelante cuando la hélice que gira, empuja el aire o expulsa los gases expansivos del reactor, hacia atrás del avión. El empuje hacia adelante es proporcional a la masa del aire multiplicada por la velocidad media del flujo de aire.

Similarmente, un barco genera empuje hacia adelante (o hacia atrás) cuando la hélice empuja agua hacia atrás (o hacia adelante). El empuje resultante empuja al barco en dirección contraria a la suma del cambio de momento del agua que fluye a través de la hélice.

Un cohete (y toda la masa unida a él) es propulsado hacia adelante por un empuje igual y en dirección opuesta a la masa multiplicada por su velocidad respecto al cohete.

arquimedes.

Para otros usos de este término, véase Arquímedes (desambiguación).

Arquímedes de Siracusa
Arquímedes pensativo. Óleo sobre tela del pintorDomenico Fetti (1620). Gemäldegalerie Alte Meister, Dresde.
Nacimiento	287 a. C. Siracusa, Sicilia (Magna Grecia)
Fallecimiento	ca. 212 a. C. (75 años) Siracusa
Residencia	Siracusa
Campo	Matemáticas, física, ingeniería,astronomía, invención
Conocido por	Principio de Arquímedes,Tornillo de Arquímedes,hidrostática, palanca, El método de los teoremas mecánicos

Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo Ἀρχιμήδης) (Siracusa (Sicilia), ca. 287 a. C. – ibídem, ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, inventor,astrónomo y matemático griego. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de laantigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de lapalanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.¹

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.² ³ Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi.⁴ También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió durante el sitio de Siracusa (214–212 a. C.), cuando fue asesinado por un soldado romano, a pesar de que existían órdenes de que no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandríalo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta c. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera vez a un público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron a través de la Edad Media fueron una importante fuente de ideas durante el Renacimiento,⁵mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos.⁶

presion.

La presión (símbolo p)¹ ² es una magnitud física que mide como la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad de superficie(esa magnitud es escalar), y sirve para caracterizar cómo se aplica una determinada fuerza resultante sobre una línea. En el Sistema Internacional la presión se mide en una unidad derivada que se denomina pascal (Pa) que es equivalente a una fuerza total de un newton actuando uniformemente en un metro cuadrado. En el Sistema Inglés la presión se mide en libra por pulgada cuadrada (pound per square inch o psi) que es equivalente a una fuerza total de una libra actuando en una pulgada cuadrada.

Definición[editar · editar código]

La presión es la magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa, es decir,equivale a la fuerza que actúa sobre la superficie.

Cuando sobre una superficie plana de área A se aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P viene dada de la siguiente forma:

$p = \frac{F}{A}$

En un caso general donde la fuerza puede tener cualquier dirección y no estar distribuida uniformemente en cada punto la presión se define como:

$p = \frac{d\bold{F}_A}{dA}\cdot \bold{n}$

Donde $\scriptstyle \bold{n}$ es un vector unitario y normal a la superficie en el punto donde se pretende medir la presión. La definición anterior puede escribirse también como:

$p = \frac{d}{dA}\int_S \mathbf{f}\cdot\mathbf{n}\ dS$

donde:

$\mathbf{f}$ , es la fuerza por unidad de superficie.

$\mathbf{n}$ , es el vector normal a la superficie.

$A\,$ , es el área total de la superficie S.

densidad.

Para otros usos de este término, véase Densidad (desambiguación).

En física y química, la densidad (símbolo ρ) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa contenida en un determinado volumen de una sustancia. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.

$\rho = \frac{m}{V}\,$

Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de un punto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes $\Delta V_k$ (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo $\Delta m_k$ la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes:

$\rho(x) = \lim_{k \to \infty} \frac{\Delta m_k}{\Delta V_k} \approx \frac{dm}{dV}$

La unidad es kg/m³ en el SI.

Como ejemplo, un objeto de plomo es más denso que otro de corcho, con independencia del tamaño y masa.

hidrodinamica.

La hidrodinámica estudia la dinámica de los líquidos.

Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes:

Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases.
Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento.
Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo.

La hidrodinámica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc.

Daniel Bernoulli fue uno de los primeros matemáticos que realizó estudios de hidrodinámica.

Características y leyes generales[editar · editar código]

La hidrodinámica o fluidos en movimientos presenta varias características que pueden ser descritas por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas:

Ley de Torricelli: si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido y se le abre al recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será:

$v=\sqrt{2 g H}$

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de Reynolds (adimensional):

$Re=\frac{\rho c D}{\mu}$

donde $\rho$ es la densidad, $c$ la velocidad, $D$ es el diámetro del cilindro y $\mu$ es la viscosidad dinámica.

Concretamente, este número indica si el fluido es laminar o turbulento, o si está en la zona de transición. $Re<2300$ indica laminar, $Re>4000$ turbulencia.

Caudal[editar · editar código]

Artículo principal: Caudal (fluido)

El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido $\Delta{V}$ que fluye por unidad de tiempo $\Delta{t}$ . Sus unidades en elSistema Internacional son los m³/s y su expresión matemática:

$G=\frac{\Delta{V}}{\Delta{t}}$

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.

Principio de Bernoulli[editar · editar código]

Artículo principal: Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:

$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

donde $P$ es la presión hidrostática, $\rho$ la densidad, $g$ la aceleración de la gravedad, $h$ la altura del punto y $v$ la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.

La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico:

$G = A_1 v_1 = A_2 v_2$

donde $A$ es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y $v$ su velocidad media.

miércoles, 13 de noviembre de 2013

Presión

Presión estática

p = ρ x h

f = p x A

Presión dinámica

Presiones absoluta y relativa

pre = pab + pat

Ejemplos[editar · editar código]

Definición[editar · editar código]

Características y leyes generales[editar · editar código]

Caudal[editar · editar código]

Principio de Bernoulli[editar · editar código]

p_re = p_ab + p_at